因数分解の基本
因数分解とは、簡単に言うと「足し算・引き算で書かれた式を、掛け算の形になおすこと」です。式の「展開」の逆の作業になります。
展開: $(x + 2)(x + 3) \rightarrow x^2 + 5x + 6$
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因数分解: $x^2 + 5x + 6 \rightarrow (x + 2)(x + 3)$
1 ステップ 1：共通因数でくくる（一番最初のチェック！）
どんな式でも、まずは「全部の項に共通している文字や数字（共通因数）はないか？」を探します。もしあれば、それを括弧の外に出します。
例題 1: $ax + ay$
- 共通しているのは $a$ です。
答え: $a(x + y)$
例題 2: $4x^2 - 6x$
- 数字の共通因数は $2$。文字は $x$。合わせて $2x$ でくくります。
答え: $2x(2x - 3)$
2 ステップ 2：乗法公式を使う
共通因数がない、またはくくった後は、公式が使えないか確認します。よく使う3つの公式です。
公式①：和と積の形
$x^2 + \bigcirc x + \triangle$ の形の場合、「足して $\bigcirc$、掛けて $\triangle$」になる2つの数字を探します。先に掛けて $\triangle$ になる組み合わせを列記し、その中から足して $\bigcirc$ になるものを選ぶと見つけやすいです。
$$x^2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)$$
例題: $x^2 + 5x + 6$
足して $5$、掛けて $6$ になる数字を探します。（掛けて6になる $2 \times 3$ が条件に合います）
答え: $(x + 2)(x + 3)$
答え: $(x + 2)(x + 3)$
例題: $x^2 - x - 12$
足して $-1$、掛けて $-12$ になる数字を探します。（$3$ と $-4$ が条件に合います）
答え: $(x + 3)(x - 4)$
答え: $(x + 3)(x - 4)$
公式②：(〇 ± △)の2乗の形
$$a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$$
例題: $x^2 + 6x + 9$
$x^2 + 2 \times x \times 3 + 3^2$ となっているので、公式に当てはまります。
答え: $(x + 3)^2$
$x^2 + 2 \times x \times 3 + 3^2$ となっているので、公式に当てはまります。
答え: $(x + 3)^2$
公式③：2乗ひく2乗の形
式が 「〇の2乗 $-$ △の2乗」 になっていたら、この公式です。
$$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$$
例題: $x^2 - 16 \rightarrow x^2 - 4^2$ と考えます。
答え: $(x + 4)(x - 4)$
答え: $(x + 4)(x - 4)$
3 ステップ 3：たすき掛け
$ax^2 + bx + c$ のように、$x^2$ の前に1以外の数字がついている場合は「たすき掛け」を使います。
例題: $2x^2 + 5x + 3$
掛けて $2$（$x^2$の係数）になる数と、掛けて $3$（定数項）になる数を斜めに掛け合わせ（たすき掛け）、足した結果が $5$（真ん中の係数）になる組み合わせを探します。
$$
\begin{matrix}
1 & & 1 & \rightarrow & 2 \\
& \times & & & \\
2 & & 3 & \rightarrow & 3 \\
\hline
& & & & 5
\end{matrix}
$$
斜めに掛けると $1 \times 3 = 3$、$2 \times 1 = 2$。
足して $5$ になるので正解です。横に読んで括弧に入れます。
足して $5$ になるので正解です。横に読んで括弧に入れます。
答え: $(x + 1)(2x + 3)$
4 ステップ 4：複雑な式の工夫
式が長く複雑な場合は、以下の工夫をすると公式が使える形になることがあります。
1. 文字で置き換える
同じ形のかたまりを別の文字（$A$ など）に置き換えます。
例題: $(x + y)^2 - 4(x + y) + 4$
① $x + y = A$ と置く $\rightarrow A^2 - 4A + 4$
② 因数分解する $\rightarrow (A - 2)^2$
③ $A$ を元の $x + y$ に戻す
答え: $(x + y - 2)^2$
2. 次数の低い文字で整理する
一番次数が低い文字に注目して式を並べ替えます。
例題: $x^2 + xy + x + 2y - 2$
① 次数の低い $y$ について整理する
$\rightarrow (x + 2)y + (x^2 + x - 2)$
$\rightarrow (x + 2)y + (x^2 + x - 2)$
② 後ろの括弧を因数分解する
$\rightarrow (x + 2)y + (x + 2)(x - 1)$
$\rightarrow (x + 2)y + (x + 2)(x - 1)$
③ 共通因数 $(x + 2)$ でくくる
答え: $(x + 2)(x + y - 1)$
まとめ：チェックリスト
因数分解の問題を見たら、必ず上から順番に確認してください。
- 1. 共通因数でくくれるか？（常に一番最初！）
- 2. 乗法公式が使えるか？
- 3. 同じかたまりを置き換えられないか？
- 4. 一番次数の低い文字で整理できないか？