平方根の分母の有理化

1. 要点まとめ

分母の有理化とは、分母にあるルート（\(\sqrt{\quad}\)）をなくす変形のことです。

値の大きさを分かりやすくしたり、通分（足し算・引き算）をしやすくするために行います。

2. 有理化のやり方（2パターン）

パターンA：分母がルート1つ（基本）

分母と同じルートを、分母と分子の両方にかけます。

$$ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} $$
💡 コツ： 約分できるときは先に約分し、\(\sqrt{12}\)などは先に \(2\sqrt{3}\) に直してから計算するとミスが減ります。

パターンB：分母が足し算・引き算（応用）

公式 \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\) を利用するため、真ん中の符号を変えた式を分母と分子にかけます。

例1： \(\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\) の場合、\(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) をかける。

$$ \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})} $$ $$ = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2} = \sqrt{3}-\sqrt{2} $$

例2（約分ができる場合）： \(\frac{4}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}\) の場合

$$ \frac{4}{\sqrt{6}-\sqrt{2}} = \frac{4(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{6}+\sqrt{2})} $$ $$ = \frac{4(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{6-2} = \frac{4(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4} = \sqrt{6}+\sqrt{2} $$
💡 コツ： 分子に数をかけるときは、あえて展開せずにカッコのまま残しておくと、後で分母と約分できることに気付きやすくなります。