２次方程式の解き方と練習問題

解き方の解説と練習問題（「、」や「と」の順不可・全記号自動判定対応）

第1部 計算のポイント（要約）

1. 平方根を使う

$x^2 = k$ や $(x+a)^2 = k$ の形なら、そのまま平方根をとります。

  • 例: $x^2 = 9$
    $\rightarrow x = \pm 3$
  • 例: $(x-1)^2 = 5$
    $\rightarrow x-1 = \pm \sqrt{5}$
    $\rightarrow x = 1 \pm \sqrt{5}$

2. 因数分解を使う（基本）

「足して $b$、掛けて $c$」になる数を見つけます。

  • 例: $x^2 + 5x + 6 = 0$
    $\rightarrow (x+2)(x+3) = 0$
    $\rightarrow x = -2, -3$

3. 解の公式を使う（万能）

因数分解できないときはこれを使います。

$ax^2 + bx + c = 0$ の場合
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$
  • 例: $x^2 + 3x + 1 = 0$
    手順 $a=1, b=3, c=1$ を代入
    $\rightarrow x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$
    $\rightarrow x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2}$
    $\rightarrow x = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$

第3部 文章問題の解き方（解説）

文章問題を解くときは、計算力だけでなく「式を作る力」と「答えを確認する力」が問われます。

1

未知数を決める（$x$とおく）

基本的には「求めなさい」言われているものを $x$ と置きます。
図形問題なら「縦の長さ」、数の問題なら「小さい方の数」などを $x$ にするのが一般的です。

2

方程式を作る（立式）

文章の中にある「等しい関係」を見つけて式にします。

面積の公式: （縦）×（横）＝（面積） 数量の関係: （元の数）の2乗は（ある数）より大きい、など
3

方程式を解く

第1部で紹介した「因数分解」や「解の公式」を使って $x$ の値を求めます。
２次方程式では、答えが通常 2つ 出てきます。

4

解の吟味（答えのチェック） ★最重要

２次方程式の文章問題では、計算で出た答えが問題の条件に合わないことがあります。必ず以下の確認を行ってください。

  • 長さ・時間・個数の場合: マイナスの答えは不適です。（例: 長さが $-3$ cm はありえない）
  • 図形の問題: 「元の長さより切り取る長さが長い」などは不適です。
  • 自然数・整数の問題: 分数や小数の答えは不適です。