図形の相似インタラクティブマスター

【解説】

相似な三角形において、相似比は「対応する最も短い辺の比」と一致します。

• 三角形 $A$ の最も短い辺： $6\text{cm}$
• 三角形 $B$ の最も短い辺： $9\text{cm}$

よって、相似比は $6 : 9$。これを簡単な比に直すと $2 : 3$ となります。

【解説】

相似比が $2 : 3$ であるため、対応する辺の長さの比も $2 : 3$ になります。

$BC : EF = 2 : 3$
$4 : EF = 2 : 3$
$2 \times EF = 12$
$EF = 6\text{cm}$

したがって、求める辺 $EF$ の長さは $6\text{cm}$ です。

【解説】

相似な図形では、「対応する角の大きさはそれぞれ等しい」という性質があります。

• $\angle P = \angle A = 50^\circ$
• $\angle Q = \angle B = 60^\circ$

三角形の内角の和は $180^\circ$ ですので、残りの1つの角 $\angle R$ の大きさは次のように求まります。

$\angle R = 180^\circ - (50^\circ + 60^\circ) = 70^\circ$

したがって正解は $70^\circ$ です。

【解説】

直角二等辺三角形は、1つの角が $90^\circ$ で、残りの2つの角は必ず $45^\circ$、 $45^\circ$ になります。

したがって、どのような直角二等辺三角形を2つ用意しても、その内角はどちらも $90^\circ, 45^\circ, 45^\circ$ となり、対応する角が一致します。

相似条件のうち、「2組の角がそれぞれ等しい」が満たされるため、常に相似となります。

【解説】

三角形の1辺に平行な直線を引いた場合、分かれる線分の比は等しくなります（平行線と線分の比の定理）。

$AD : DB = AE : EC$
$3 : 6 = 2 : EC$
$3 \times EC = 12$
$EC = 4$

したがって正解は $4$ となります。

【解説】

★間違いやすい超重要ポイントです！

今回は全体の底辺 $BC$ の長さを求めたいので、パーツ同士の比（$AD:DB$）ではなく、「小さい三角形 $\triangle ADE$ と 大きい三角形 $\triangle ABC$ の相似比」を考える必要があります。

• $\triangle ADE$ の左辺 $AD = 3$
• $\triangle ABC$ の左辺 $AB = 9$

よって相似比は $AD : AB = 3 : 9 = 1 : 3$ となります。これを底辺の比に当てはめます。

$AD : AB = DE : BC$
$3 : 9 = 4 : BC$
$3 \times BC = 36$
$BC = 12$

したがって正解は $12$ です。

【解説】

中点連結定理の基本問題です。

三角形の2辺の中点を結ぶと、その線分は底辺に平行で、長さは底辺の**ぴったり半分**になります。

$MN = \frac{1}{2} \times BC$
$MN = \frac{1}{2} \times 12 = 6\text{cm}$

したがって正解は $6\text{cm}$ です。

【解説】

相似比が $a : b$ である2つの平面図形において、その**面積比は $a^2 : b^2$** になります。

$\text{面積比} = 3^2 : 4^2 = 9 : 16$

よって正解は $9 : 16$ です（$3:4$ と間違えやすいので注意しましょう）。

【解説】

相似比が $a : b$ である2つの立体において、その**体積比は $a^3 : b^3$** になります。

$\text{体積比} = 2^3 : 5^3 = 8 : 125$

よって正解は $8 : 125$ です（縦・横・高さの3次元すべてがそれぞれ拡大されるため、3乗の比になります）。

【解説】

相似の証明の流れをおさらいしましょう。

1. 対頂角なので、$\angle AOB = \angle DOC$ となります（よって a = DOC）。
2. 平行線 $AB \mathbin{/\!/} CD$ のZ字の部分にできる角は**錯角**（さっかく）です（よって b = 錯角）。
3. 平行線の錯角は等しいので、$\angle OAB = \angle ODC$（または $\angle OCD$）となります。ここでは選択肢にある c = ODC を選びます。
4. ①、②より「2つの角度」がそれぞれ等しいことが言えたので、相似条件は d = 2組の角がそれぞれ等しい になります。

すべてがピッタリ一致しているのは 1つ目 の選択肢です。