直角三角形と面積のリアルタイム連動
スライダーを動かして、直角をはさむ2辺 \(a\) と \(b\) の長さを変えてみましょう。それぞれの辺を一辺とする正方形の面積が変化し、常に \(a^2 + b^2 = c^2\) が保たれる様子がわかります。
面積の関係式
定理の練習問題
直角をはさむ2つの辺が \(9\text{cm}\) と \(12\text{cm}\) である直角三角形の、斜辺の長さを求めなさい。
斜辺の長さが \(13\text{cm}\)、底辺の長さが \(5\text{cm}\) の直角三角形において、高さ（残りの一辺）を求めなさい。
並べ替えパズルで見る面積証明
一辺が \(a+b\) の大きな正方形の中に、4つの同じ直角三角形を配置します。ボタンを押して、三角形を並べ替えたときの「白地（余白）の面積」の変化に注目しましょう。
現在：パターンA (余白の面積 ＝ \(c^2\))
証明の穴埋めに挑戦
2乗（平方）の入力方法について
2乗を入力する際は、半角記号 ^2 を使って入力してください。
（例：\(c^2\) の場合は c^2、\(a^2+b^2\) の場合は a^2+b^2 と入力します。全角文字の ｃ＾２ などでも自動で判定されます）
【証明】
一辺が \(a+b\) の外側の大正方形全体の面積は、数式で表すと
( )²
となる。
三角形が並び替わる前のパターンAでは、残された中央の四角形の面積は となる。
一方、並び替えた後のパターンBでは、同じ大正方形の中にできる余白は2つの正方形の和、すなわち である。
全体の面積および4つの直角三角形の面積の総和はどちらのパターンでも同じため、この余白の面積どうしも当然等しくなる。 よって、\(a^2 + b^2 = c^2\) が成立する。
1. 数式（代数）による展開証明
パズルの面積関係を等式に展開して代数的に証明します。大正方形（一辺 \(a+b\)）の全体の面積を、内側の各パーツ（直角三角形4つ、および余白部分）の総和として展開し、比較します。
// パターンAから等式を構築する
大正方形の面積 ＝ (直角三角形 × 4) ＋ 中央の正方形
\[(a + b)^2 = 4 \times \left( \frac{1}{2}ab \right) + c^2\]
\[a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2\]
// 両辺から等しい項である \(2ab\)（三角形4つ分）を引くと：
\[a^2 + b^2 = c^2\]
2. 代数展開に対応する面積の構成図
上の代数式における各項の対応図です。一辺が \(a+b\) の正方形全体から、ピンク色の直角三角形4つ（合計面積：\(2ab\)）を除くと、残る白色の余白面積がどちらも完全に同じになることが一目で分かります。
パターンA (余白 ＝ \(c^2\))
\[(a+b)^2 - 2ab = c^2\]
パターンB (余白 ＝ \(a^2 + b^2\))
\[(a+b)^2 - 2ab = a^2 + b^2\]